順列と組み合わせの計算

順序が問題になる場合とならない場合について、n 個から r 個を選ぶ方法の数を求めます。

計算式数学

組み合わせ nCr

順列は、順序のある選び方を数えます。例えば金、銀、銅のメダル獲得者を選ぶ場合です。組み合わせは、順序のない選び方を数えます。例えば三人のチームを選ぶ場合です。一つの組み合わせは、r! 通りの順列に対応します。

重複ありの場合、各選択で同じものを再び選べます。例えば 10 種類の数字から 3 桁の符号を作ると、並べ方は 10³ 通りです。重複を許す順序のない選び方は、星と棒の公式で数えます。

nPr = n! ÷ (n − r)!
nCr = n! ÷ (r! (n − r)!)
重複あり: nʳ と (n + r − 1)Cr

10 個から 3 個を選ぶ場合: nPr = 10 × 9 × 8 = 720 通りの順序付きの選び方、nCr = 720 ÷ 3! = 120 通りの組です。重複ありの場合、順序付きは 10³ = 1000 通り、順序なしは 12C3 = 220 通りです。

順列と組み合わせの違いは何ですか？

順列では順序が重要です（ABC と CBA は異なります）。組み合わせでは順序は重要ではありません（ABC と CBA は同じ組です）。

49 個から 6 個を選ぶ宝くじの組み合わせは何通りありますか？

49C6 = 13,983,816 なので、一枚の券が六つすべてを当てる確率は 13,983,816 分の 1 です。

n 個から r 個を選ぶとは何ですか？

nCr の別の呼び方で、二項係数とも呼ばれ、縦に長い括弧を使って (n r) と書かれます。