階乗の計算

1 から n までのすべての整数の積を、正確に計算します。

計算式数学

n!

n!（n の階乗）は、1 から n までのすべての整数を掛けた積です。定義により 0! = 1 です。

計算機は大きな整数を使って正確に掛け算を行うため、丸めは一切ありません。階乗は非常に速く増加します。70! はすでに 100 桁を超えます。

末尾の 0 は 10 の因数から生じます。つまり 2 と 5 の組です。2 は常に 5 より多いため、5 の個数を数えると 0 の個数が分かります。

n! = 1 × 2 × 3 × … × n
0! = 1
0 の個数 = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 です。20! = 2432902008176640000 で、19 桁あり、⌊20/5⌋ = 4 個の末尾の 0 があります。

0! がなぜ 1 になるのですか？

0 個の物を並べる方法はちょうど一通りであり、n! = n × (n − 1)! という規則は 1! = 1 × 0! を必要とするため、0! = 1 でなければなりません。

小数や負の数の階乗を求めることはできますか？

通常の階乗は 0 以上の整数に対するものなので、できません。ガンマ関数はそれ以外の数にも階乗を拡張しますが、この計算ツールはそれを行いません。

階乗は何に使われますか？

並べ方を数えるために使われます。n! は、n 個の異なる物を並べる順序の数です。順列、組み合わせ、数列にも現れます。