Löser für quadratische Gleichungen
a, b und c eingeben, um ax² + bx + c = 0 zu lösen.
x₁
x₁: 2
- x₂
- 1
- Exakte Form
- x = 2, x = 1
- Diskriminante (b² − 4ac)
- 1
- Scheitel x
- 1,5
- Scheitel y
- -0,25
Schritt für Schritt
- Δ = b² − 4ac = 1
Die Diskriminante ist positiv: zwei verschiedene reelle Nullstellen.
So funktioniert es
Die Mitternachtsformel liefert beide Nullstellen auf einmal. Die Diskriminante b² − 4ac bestimmt ihren Typ: positiv ergibt zwei reelle Nullstellen, null eine doppelte Nullstelle, negativ ein komplexes Paar.
Um Stellen nicht zu verlieren, wenn b² viel größer als 4ac ist, verwendet der Rechner die numerisch stabile Form der Formel. Bei ganzzahligen Koeffizienten zeigt er außerdem das exakte Ergebnis als vereinfachten Wurzelausdruck.
Der Scheitel ist der Wendepunkt der Parabel y = ax² + bx + c.
Formel
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac Scheitel = (−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
Rechenbeispiel
Für x² − 3x + 2 = 0: Δ = 9 − 8 = 1, also x = (3 ± 1) ÷ 2, das ergibt x = 2 und x = 1. Der Scheitel liegt bei (1.5, −0.25).
Häufige Fragen
Was ist, wenn a null ist?
Dann ist die Gleichung linear, bx + c = 0, mit der einzigen Lösung x = −c ÷ b.
Was sind komplexe Nullstellen?
Ist die Diskriminante negativ, schneidet die Parabel die x-Achse nie. Die Nullstellen lauten dann p ± qi, wobei i² = −1 gilt.
Kann ich stattdessen faktorisieren?
Wenn die exakten Nullstellen Brüche sind, ja: Die Nullstellen 2 und 1 bedeuten x² − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1).