Kalkulator równań kwadratowych
Wpisz a, b i c, aby rozwiązać ax² + bx + c = 0.
x₁
x₁: 2
- x₂
- 1
- Postać dokładna
- x = 2, x = 1
- Wyróżnik (b² − 4ac)
- 1
- Wierzchołek x
- 1,5
- Wierzchołek y
- -0,25
Krok po kroku
- Δ = b² − 4ac = 1
Wyróżnik jest dodatni: dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Jak to działa
Wzór kwadratowy podaje oba pierwiastki naraz. Wyróżnik b² − 4ac decyduje o ich rodzaju: dodatni daje dwa pierwiastki rzeczywiste, zerowy jeden podwójny, ujemny parę zespoloną.
Aby nie tracić cyfr, gdy b² jest znacznie większe od 4ac, kalkulator używa numerycznie stabilnej postaci wzoru. Przy współczynnikach całkowitych pokazuje też dokładną odpowiedź jako uproszczony pierwiastek.
Wierzchołek to punkt zwrotu paraboli y = ax² + bx + c.
Wzór
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac wierzchołek = (−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
Przykład krok po kroku
Dla x² − 3x + 2 = 0: Δ = 9 − 8 = 1, więc x = (3 ± 1) ÷ 2, czyli x = 2 i x = 1. Wierzchołek leży w (1.5, −0.25).
Najczęstsze pytania
Co jeśli a jest zerem?
Wtedy równanie jest liniowe, bx + c = 0, z jednym rozwiązaniem x = −c ÷ b.
Czym są pierwiastki zespolone?
Gdy wyróżnik jest ujemny, parabola nigdy nie przecina osi x. Pierwiastki mają wtedy postać p ± qi, gdzie i² = −1.
Czy mogę zamiast tego rozłożyć na czynniki?
Jeśli dokładne pierwiastki są ułamkami, tak: pierwiastki 2 i 1 oznaczają, że x² − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1).